✓ Chuyên đề cách tìm tọa độ trọng tâm tam giác

Trọng tâm của tam giác là một điểm quan trọng và có nhiều ứng dụng trong các bài toán. Vậy trọng tâm của tam giác là gì? Tọa độ trọng tâm của tam giác? Công thức tam giác trọng tâm?…. Trong bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này!

Trọng tâm của tam giác là gì?

Cho tam giác (ABC ). ba đường trung tuyến từ ba đỉnh của tam giác hội tụ tại một điểm (G ). Điểm đó (G ) được gọi là trọng tâm của tam giác (ABC )

Trọng tâm của tam giác

Khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh bằng ( frac {2} {3} ) độ dài của đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.

( frac {AG} {AM} = frac {BG} {BN} = frac {CG} {CP} = frac {2} {3} )

( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = 0 )

Cách tìm tọa độ trọng tâm của tam giác

Tọa độ trọng tâm của tam giác trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho tam giác (ABC ) có toạ độ ba đỉnh lần lượt là: (A (x_A; y_A); B (x_B; y_B); C (x_C; y_C) ). Khi đó tọa độ trọng tâm (G ) của tam giác (ABC ) là: (G ( frac {x_A + x_B + x_C} {3}; frac {y_A + y_B + y_C} {3} ) )

Chứng tỏ:

Gọi (AM; BN; CP ) lần lượt là ba trung tuyến của tam giác (ABC ).

Bởi vì (M ) là điểm giữa (BC ) nên ( Rightarrow M ( frac {x_B + x_C} {2}; frac {y_B + y_C} {2}) ; ; ; ; ; (1) )

Thực hiện ( frac {AG} {AM} = frac {2} {3} Rightarrow frac {GA} {GM} = 2 )

( Rightarrow G ( frac {x_A + 2x_M} {3}; frac {y_A + 2y_M} {3}) ; ; ; ; ; (2) )

Thay thế ((1) ) thành ((2) ) chúng ta nhận được

(G ( frac {x_A + x_B + x_C} {3}; frac {y_A + y_B + y_C} {3}) )

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho tam giác (ABC ) vuông tại (A ) có (AB = AC ). Biết rằng (M (1; -1) ) là trung điểm của (BC ) và ( Rightarrow G ( frac {2} {3}; 0) ) là tâm của ( Delta ABC ). Tìm tọa độ các đỉnh của ( Delta ABC )

Giải pháp:

Vì (G ) là trọng tâm của tam giác (ABC ) nên:

( Rightarrow G ( frac {x_A + 2x_M} {3}; frac {y_A + 2y_M} {3}) )

( Rightarrow A (3x_G-2x_M; 3y_G-2y_M) Rightarrow A (0; 2) )

( Rightarrow overrightarrow {AM} = (- 1; 3) )

Vì ( Delta ABC ) là các cân tại (A ) nên (AM ) là trung vị ( Rightarrow AM bot BC )

( Rightarrow overrightarrow {AM} ) là vectơ pháp tuyến của (BC )

( Rightarrow ) phương trình (BC: -1 (x-1) +3 (y + 1) = 0 )

( Mũi tên phải BC: -x + 3y + 4 = 0 )

Vì ( Delta ABC ) là hình vuông nên ( Rightarrow AM = frac {BC} {2} = BM = CM )

(B (3a + 4; a) Rightarrow BM ^ 2 = (3a + 3) ^ 2 + (a + 1) ^ 2 = 10 (a + 1) ^ 2 )

(AM ^ 2 = 1 ^ 2 + 3 ^ 2 = 10 )

( Rightarrow 10 = 10 (a + 1) ^ 2 Rightarrow (a + 1) ^ 2 = 1 Rightarrow left[begin{array}{l}a=0a=-2end{array}right)[begin{array}{l}a=0a=-2end{array}right)[begin{array}{l}a=0a=-2end{array}right)[begin{array}{l}a=0a=-2end{array}right)

Vì vậy ( left[begin{array}{l}B(4;0)RightarrowC(-2;-2)B(-2;-2)RightarrowC(4;0)end{array}right)[begin{array}{l}B(4;0)RightarrowC(-2;-2)B(-2;-2)RightarrowC(4;0)end{array}bênphải)[begin{array}{l}B(4;0)RightarrowC(-2;-2)B(-2;-2)RightarrowC(4;0)end{array}right)[begin{array}{l}B(4;0)RightarrowC(-2;-2)B(-2;-2)RightarrowC(4;0)end{array}right)

Vậy tọa độ của ba đỉnh ( Delta ABC ) là (A (0; 2); B (4; 0); C (-2; -2) ) hoặc (A (0; 2) ; B (-2; -2); C (4; 0) )

Tọa độ trọng tâm của tam giác trong không gian

Trong không gian (Oxyz ) cho tam giác (ABC ) có tọa độ ba đỉnh lần lượt là: (A (x_A; y_A; z_A); B (x_B; y_B; z_B); C (x_C; y_C; z_C ) ). Khi đó tọa độ trọng tâm (G ) của tam giác (ABC ) là: (G ( frac {x_A + x_B + x_C} {3}; frac {y_A + y_B + y_C} {3} ; frac {z_A + z_B + z_C} {3}) )

Chứng tỏ:

Tương tự với chứng minh trong mặt phẳng

Ví dụ:

Trong không gian (Oxyz ) cho tam giác (ABC ) có toạ độ (B (1; 1; 0); C (3; -1; 2) ) và trọng tâm (G (2; 0; 0) ) ). Viết phương trình đường cao (AH ) của tam giác (ABC )

Giải pháp:

Chúng ta có :

(A (3x_G-x_B-x_C; 3y_G-y_B-y_C; 3z_G-z_B-z_C) )

( Rightarrow A (2; 0; -2) )

( overrightarrow {BC} = (2; -2; 2) Rightarrow ) phương trình (BC ):

( left { begin {matrix} x = 1 + t y = 1-t z = t end {matrix} right. )

Giả sử (H (1 + a; 1-a; a) )

( Rightarrow overrightarrow {AH} = (a-1; 1-a; a + 2) )

Bởi vì (AH bot BC Rightarrow (a-1) + (a-1) + (a + 2) = 0 Rightarrow a = 0 )

( Rightarrow H equiv B )

( overrightarrow {AB} = (- 1; 1; 2) Rightarrow ) phương trình độ cao:

( left { begin {matrix} x = 1-t y = 1 + t z = 2t end {matrix} right. )

Công thức tâm tam giác

Dưới đây là một số công thức trọng tâm tam giác giúp giải nhanh các câu hỏi trắc nghiệm.

Trong một tam giác (ABC ) với (AM; BN; CP ) là ba trung tuyến, cắt nhau tại (G ) là trọng tâm của tam giác. Sau đó chúng tôi có:

• Diện tích các hình tam giác nhỏ hơn bằng nhau:

(S _ {APG} = S_ {ANG} = S_ {CNG} = S_ {CMG} = S_ {BMG} = S_ {BPG} = frac {S_ {ABC}} {6} )

(S _ {ABG} = S_ {ACG} = S_ {BCG} = frac {S_ {ABC}} {3} )

• Chiều dài của trung bình:

(AM = frac { sqrt {2AB ^ 2 + 2AC ^ 2-BC ^ 2}} {2} )

(BN = frac { sqrt {2BA ^ 2 + 2BC ^ 2-AC ^ 2}} {2} )

(CP = frac { sqrt {2CA ^ 2 + 2CB ^ 2-AB ^ 2}} {2} )

( Rightarrow AM ^ 2 + BN ^ 2 + CP ^ 2 = frac {3} {4} (AB ^ 2 + BC ^ 2 + CA ^ 2) )

• Gọi (H ) là chân của đường cao đi xuống từ đỉnh (A ) tới (BC ). Sau đó :

(| AB ^ 2-AC ^ 2 | = 2BC.MH )

Ví dụ:

Cho tam giác (ABC ) có độ dài ba cạnh (AB = 4cm; AC = 7cm; BC = 8 cm ). Gọi (G ) là trọng tâm của tam giác (ABC ). Tính độ dài đoạn (AG )

Giải pháp:

Áp dụng công thức độ dài trung vị, ta có:

(AG = frac {2} {3}. Frac { sqrt {2AB ^ 2 + 2AC ^ 2-BC ^ 2}} {2} = frac {2} {3}. Frac { sqrt {66}} {2} = frac { sqrt {66}} {3} )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp các công thức và bài toán về tọa độ trọng tâm trong tam giác. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề Tọa độ trọng tâm của tam giác. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!.

Xem thêm:

• Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
• Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
• Chuyên đề về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
• Chuyên đề về phương pháp tọa độ trong không gian