✓ Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Lý thuyết và Bài tập

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một chuyên đề quan trọng trong chương trình học môn Toán lớp 10. Vậy hệ tọa độ phẳng là gì? Chuyên đề về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 cần nhớ những gì? Các phương pháp giải bài toán tọa độ trong mặt phẳng?… Trong bài viết sau, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này!

Lý thuyết về hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy

Hệ tọa độ trong mặt phẳng là gì?

Hệ gồm hai trục (Ox, Oy ) vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy ) trong mặt phẳng với:

• (Ox ) là trục hoành
• (Oy ) là trục tung

Phương trình của một đường thẳng là gì?

Định nghĩa của một đường thẳng là gì?

Xem chi tiết >>> Phương trình một đường thẳng trong mặt phẳng

Cách viết phương trình của một đường thẳng

Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm

• Hai điểm bất kỳ (A (x_a; y_a); B (x_b; y_b) ) với (x_a neq x_b ) và (y_a neq y_b )

( frac {x-x_a} {x_b-x_a} = frac {y-y_a} {y_b-y_a} )

• Hai điểm có cùng tọa độ (A (m; y_a); B (m; y_b) )

(x = m Mũi tên trái xm = 0 )

• Hai điểm có cùng tọa độ (A (x_a; m); B (x_b; m) )

(y = m Mũi tên trái ym = 0 )

• Hai điểm trên hai trục tọa độ (A (a; 0); B (0; b) ) với (a; b neq 0 )

( frac {x} {a} + frac {y} {b} = 1 ) (Phương trình rào cản)

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm (M (x_0; y_0) ) có hệ số góc (k )

(y-y_0 = k (x-x_0) )

Phương trình của đường thẳng ( Delta ) đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với đường thẳng đã cho (d: Ax + By + C = 0 )

( Delta song song d: Ax + By + C ‘= 0 ) với (C neq C’ )

( Delta bot d: -Bx + Ay + m = 0 )

Phương trình của một đường tròn là gì?

Phương trình của tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn

Cho (M (x_0; y_0) ) nằm trên đường tròn ((C): (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = R ^ 2 ). Khi đó phương trình của đường thẳng tiếp tuyến với ((C) ) tại (M ) là:

((x_0-a) (x-x_0) + (y_0-b) (y-y_0) = 0 )

Chu vi hình tròn: (C = 2 pi R )

Diện tích hình tròn: (S = pi R ^ 2 )

Xem chi tiết >>> Phương trình của một đường tròn qua phép tịnh tiến

Xem chi tiết >>> Phương trình của đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Xem chi tiết >>> Phương trình của một đường tròn đi qua 3 điểm phi tuyến tính

Phương trình elip là gì?

Xem chi tiết >>> Phương trình Ellipse là gì? Tìm hiểu phương trình Ellipse

Phương pháp giải hệ tọa độ trong mặt phẳng

Các vấn đề liên quan đến đường thẳng

Dạng bài viết phương trình dòng

Chúng tôi sử dụng các công thức trên để lập phương trình của một đường dựa trên dữ liệu của bài toán

Ví dụ

Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy ) cho tam giác (ABC ) có (A (-2; 1); B (2; 3); C (1; -5) ). Viết phương trình đường phân giác trong của góc ( widehat {ABC} )

Giải pháp

Áp dụng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ, ta có:

Phương trình đường thẳng (AB: frac {x + 2} {4} = frac {y-1} {2} Leftrightarrow x-2y + 4 = 0 )

Phương trình dòng (AC: frac {x + 2} {3} = frac {y-1} {- 6} Leftrightarrow 2x + y-3 = 0 )

Vì vậy, áp dụng công thức phương trình đường phân giác, ta có: phương trình đường phân giác trong của góc ( widehat {ABC} ) là:

( frac {x-2y + 4} { sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2}} = frac {2x + y-3} { sqrt {2 ^ 2 + 1 ^ 2}} )

( Mũi tên trái x + 3y-7 = 0 )

Bài luận về khoảng cách

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (M (x_0; y_0) ) và cách điểm (A (x_A; y_A) ) một khoảng bằng (h ) cho trước.

Ví dụ

Lập phương trình cho đường thẳng (d ) đi qua điểm (A (3; 4) ) và cách điểm (B (-1; 1) ) một khoảng bằng (4 )

Giải pháp

Vì (A (3; 4) in d Rightarrow ) nên phương trình tổng quát của đường thẳng (d ) có dạng:

(a (x-3) + b (y-4) = 0 )

Sau đó:

(4 = d (B, d) = frac {| -4a-3b |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} )

( Leftrightarrow 16 (a ^ 2 + b ^ 2) = 16a ^ 2 + 24ab + 9b ^ 2 )

( Leftrightarrow 7b ^ 2 = 24ab Leftrightarrow frac {a} {b} = frac {7} {24} )

Chọn ( left { begin {matrix} a = 7 b = 24 end {matrix} right. )

Vì vậy, phương trình của dòng (d ) là:

(3 (x-3) +24 (y-4) = 0 )

( Mũi tên trái 3x + 24y-105 = 0 )

Bài văn về góc khi viết phương trình đường thẳng

Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm (M (x_0; y_0) ) và tạo với đường (d ‘: Ax + By + C = 0 ) một góc bằng ( alpha )

Ví dụ

Cho dòng ( Delta: 3x-2y + 1 = 0 ). Viết phương trình của đường thẳng (d ) đi qua điểm (M (1; 2) ) và tạo với ( Delta ) một góc (45 ^ { circle} )

Giải pháp

Vì (M (1; 2) in d Rightarrow ) nên phương trình tổng quát của đường thẳng (d ) có dạng:

(a (x-1) + b (y-2) = 0 )

Sau đó chúng tôi có:

( frac {1} { sqrt {2}} = cos (d, Delta) = frac {| 3a-2b |} { sqrt {3 ^ 2 + 2 ^ 2}. sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} )

( Leftrightarrow 13 (a ^ 2 + b ^ 2) = 2 (9a ^ 2-12ab + 4b ^ 2) )

( Leftrightarrow 5a ^ 2-24ab-5b ^ 2 = 0 )

( Leftrightarrow left { begin {matrix} frac {a} {b} = – frac {1} {5} frac {a} {b} = 5 end {matrix} right . )

Vì vậy, chúng tôi chọn ( left[begin{array}{l} (a;b)=(1;-5)(a;b)=(5;1) end{array}right.)

Vậy phương trình đường thẳng ( d ) là :

(left[begin{array}{l} x-1-5(y-2)=05(x-1)+y-2=0 end{array}right.)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} x-5y+9=05x+y-7=0 end{array}right.)

Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường tròn 

Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( M(x_0;y_0) ) trên đường tròn

Phương trình tiếp tuyến qua điểm ( N(x_N;y_N) ) nằm ngoài đường tròn

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Ví dụ 

Viết phương trình tiếp tuyến ( d )  của đường tròn ((C): x^2+y^2+8x+4y-5=0) và đi qua điểm ( A(1;2) ).

Cách giải

((C): x^2+y^2+8x+4y-5=0 Leftrightarrow (x+4)^2+(y+2)^2=5^2)

Vậy đường tròn ( (C) ) có tâm ( I(-4;-2) ) và bán kính ( R=5 )

Vì (A(1;2)in d Rightarrow d: a(x-1)+b(y-2)=0)

Do ( d ) tiếp xúc với ( (C) ) nên ta có :

(5=d(d,(C))= frac{|-5a-4b|}{sqrt{a^2+b^2}})

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} b=09b^2=20ab end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{l} b=0frac{a}{b}=frac{9}{20} end{array}right.)

Ta chọn:

(left[begin{array}{l} (a;b)=(1;0) (a;b)=(9;20) end{array}right.)

Vậy phương trình đường thẳng ( d ) là :

(x-1=0) hoặc (9x+20y-49=0)

Các bài toán liên quan đến phương trình Elip

Dạng bài viết phương trình Elip

Dạng bài tìm giao điểm giữa đường thẳng và Elip

Dạng bài tìm điểm trên Elip thỏa mãn điều kiện

Với dạng bài này ta sử dụng các tính chất sau:

Ví dụ 

Cho elip ((E): frac{x^2}{25}+frac{y^2}{4}=1). Tìm tất cả các điểm ( M ) trên ( (E) ) sao cho (widehat{F_1MF_2}=60^{circ})

Cách giải 

Tọa độ hai tiêu điểm của ( (E) ) là :

(left{begin{matrix} F_1 (-sqrt{21};0) F_2 (sqrt{21};0) end{matrix}right.)

Giả sử (M(a;b)in (E)) thỏa mãn (widehat{F_1MF_2}=60^{circ})

Khi đó ta có :

(F_1F_2^2 = MF_1^2+MF_2^2-2MF_1MF_2.cos widehat{F_1MF_2})

(Leftrightarrow 84=(a-sqrt{21})^2+(a+sqrt{21})^2+2b^2-sqrt{(a-sqrt{21})^2+b^2}.sqrt{(a+sqrt{21})^2+b^2})

(Leftrightarrow 84 = 2a^2+2b^2+42-sqrt{(a^2-21)^2+b^4+b^2(2a^2+42)})

(Leftrightarrow 2a^2+2b^2-sqrt{(a^2-21)^2+b^4+b^2(2a^2+42)}=42 hspace{1cm} (1))

Vì (M in (E)) nên ta có :

(frac{a^2}{25}+frac{b^2}{4}=1Leftrightarrow 4a^2+25b^2=100)

(Leftrightarrow a^2=25-frac{25b^2}{4})

Thay vào ( (1) ) giải phương trình một ẩn ( b^2 ) ta được (b^2=frac{16}{21})

(Rightarrow a^2 =frac{25.17}{21})

Vậy có 4 điểm ( M ) thỏa mãn là :

((frac{5sqrt{17}}{sqrt{21}};frac{4}{sqrt{21}}) ;(-frac{5sqrt{17}}{sqrt{21}};frac{4}{sqrt{21}});(frac{5sqrt{17}}{sqrt{21}};-frac{4}{sqrt{21}});(-frac{5sqrt{17}}{sqrt{21}};-frac{4}{sqrt{21}}))

Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng khó và nâng cao

Dạng bài toán về các đường trong tam giác

Ví dụ 

Trong mặt phẳng ( Oxy ) cho tam giác ( ABC ) với điểm ( A(1;1) ) . Các đường cao hạ từ ( B,C ) lần lượt có phương trình là (d_1: 2x-y+8=0; d_2:2x+3y-6=0) . Tìm tọa độ ( B,C ) và viết phương trình đường cao kẻ từ ( A )

Cách giải 

Ta có :

(d_1 bot AC Rightarrow AC : (x-1)+2(y-1)=0)

(Leftrightarrow x+2y-3=0)

(C=ACcap d_2Rightarrow) tọa độ của ( C ) là nghiệm của hệ phương trình :

(left{begin{matrix} x+2y-3=0 2x+3y-6=0 end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} x=3 y=0 end{matrix}right. Rightarrow C(3;0))

Tương tự ta có (B(-17;26))

Từ đó ta có phương trình đường thẳng ( BC )

(frac{x-3}{-20}=frac{y}{26}Leftrightarrow 13x+10y+39=0)

Do đó phương trình đường cao từ ( A ) là :

(10(x-1)-13(y-1)=0Leftrightarrow 10x-13y+3-0)

Dạng bài tập phương trình đường thẳng có tham số

Ví dụ 

Cho hai đường thẳng (left{begin{matrix} d_1: mx+(m-1)y+5m =0 d_2: mx+(m-1)y +2=0 end{matrix}right.). Tìm ( m ) để khoảng cách giữa hai đường thẳng là lớn nhất.

Cách giải 

Dễ thấy 

( d_1 ) luôn đi qua điểm ( M(-5;0) )

( d_2 ) luôn đi qua điểm ( N(-2;2) )

Mặt khác

(d(d_1,d_2)leq MN)

Nên để khoảng cách là lớn nhất thì (MN bot d_1)

(Leftrightarrow overrightarrow{MN}. overrightarrow{d_1}=0Leftrightarrow 3m+2(m-1)=0)

(Leftrightarrow m=frac{2}{5})

Bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết, một số dạng toán cũng như cách giải của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm qua video dưới đây về phương trình tham số của đường thẳng:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Chuyên đề về phương pháp tọa độ trong không gian

Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba

Xem thêm >>> Viết phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng