✓ Phương pháp đổi biến số trong Nguyên hàm và Tích phân

Tính tích phân và nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số là dạng toán phổ biến nhưng quan trọng trong chương trình toán THPT. Vậy nguyên thủy là gì? Tích phân là gì? Phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm, tích phân?… Trong bài viết sau, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này!

Định nghĩa của a original là gì?

Hàm nguyên thủy là gì?

Cho hàm (f ) được định nghĩa trên (K ). Hàm (F ) được cho là nguyên hàm của (f ) if (F ‘(x) = f (x) ) cho mọi (x ) trong (K )

Lưu ý: Giả sử hàm (F ) là một nguyên hàm của hàm (f ) trên (K ), thì hàm (y = F (x) + C ) cũng là một hàm. nguyên thủy của (f ) over (K ) cho bất kỳ hằng số (C ) nào

Một số công thức nguyên thủy cơ bản

Dưới đây là một số công thức nguyên thủy cơ bản thường được sử dụng:

• ( int 0dx = C )
• ( int dx = x + C )
• ( int x ^ {k} dx = frac {x ^ {k + 1}} {k + 1} + C ) với (k neq 1 )
• ( int frac {1} {x} dx = ln | x | + C )
• ( int a ^ {x} dx = frac {a ^ {x}} { ln a} + C ) với (0
• Trong đó (k ) là một hằng số khác 0:

( int sin kx hspace {2mm} dx = frac {- cos kx} {k} + C )

( int cos kx hspace {2mm} dx = frac { sin kx} {k} + C )

( int e ^ {kx} dx = frac {e ^ {kx}} {k} + C )

• ( int frac {1} { cos ^ {2} x} dx = tan x + C )
• ( int frac {1} { sin ^ {2} x} dx = – cot x + C )

Xem chi tiết >>> Nguyên hàm và bảng công thức nguyên thủy của các hàm cơ bản

Định nghĩa của tích phân là gì?

Tích phân là gì?

Một số quy tắc tích hợp cơ bản

Phương pháp tính tích phân

Về mặt lý thuyết, có ba cách tính tích phân cơ bản như sau:

• Tính tích phân bằng phương pháp giải tích.
• Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi.
• Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.

Bảng tích phân của một số hàm cơ bản dựa trên đạo hàm

Phương pháp chuyển đổi các biến trong nguyên thủy

Dạng bài toán phổ biến nhất là tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. Cơ sở của phương pháp này trong nguyên thủy là chúng ta sử dụng định lý:

Cho hàm (u = u (x) ) có đạo hàm liên tục trên (K ) và hàm (y = f (u) ) liên tục thoả mãn (f[u(x)]) được xác định trên (K ). Sau đó, nếu (F ) là một nguyên hàm của hàm (f ), thì: ( int f[u(x)]u ‘(x) dx = F[u(x)]+ C )

Phương pháp chuyển đổi biến dạng 1

Để tính toán nguyên hàm (f (x) ), chúng ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Đặt ẩn (t = u (x) ) trong đó (u (x) ) là một hàm thích hợp. Sau đó (dt = u ‘(x) dx )
• Bước 2: Biến đổi ( int f (x) dx = int g[u(x)].u ‘(x) dx = int g
• Bước 3: Thay (t = u (x) ), ta được kết quả

Ví dụ:

Tìm ( int frac {x ^ 3} { sqrt[3]{2x ^ 4 + 3}} dx ):

Giải pháp:

Chúng ta có:

( frac {x ^ 3} { sqrt[3]{2x ^ 4 + 3}} dx = frac {1} {8}. Frac {8x ^ 3} { sqrt[3]{2x ^ 4 + 3}} dx = frac {1} {8}. Frac {(2x ^ 4 + 3) ‘} { sqrt[3]{2x ^ 4 + 3}} dx = frac {1} {8}. Frac {d (2x ^ 4 + 3)} { sqrt[3]{2x ^ 4 + 3}} )

Đặt (t = 2x ^ 4 + 3 ). Sau đó:

( int frac {x ^ 3} { sqrt[3]{2x ^ 4 + 3}} dx = int frac {1} {8}. Frac {dt} { sqrt[3]{t}} = int frac {t ^ {- frac {1} {3}}} {8} dt = frac {1} {8}. frac {3} {2} .t ^ { frac {2} {3}} + C = frac {3 sqrt[3]{t ^ 2}} {16} + C )

Thay thế (t = 2x ^ 4 + 3 ) vào, chúng ta nhận được:

( int frac {x ^ 3} { sqrt[3]{2x ^ 4 + 3}} dx = frac {3 sqrt[3]{(2x ^ 4 + 3) ^ 2}} {16} + C )

Phương pháp chuyển đổi biến dạng 2

Để tính toán nguyên hàm (f (x) ), chúng ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Đặt (x = u
• Bước 2: Biến đổi ( int f (x) dx = int f[u
• Bước 3: Biến đổi (G

Ví dụ:

Tìm ( int frac {dx} { sqrt {(1 + x ^ 2) ^ 3}} )

Giải pháp:

Đặt (x = tan t ) với (t in [-frac{pi}{2};frac{pi}{2}])

Sau đó: (dx = ( tan t) ‘dt = frac {dt} { cos ^ 2t} )

Vì vậy chúng tôi có:

( int frac {dx} { sqrt {(1 + x ^ 2) ^ 3}} = int frac {dt} { sqrt {(1+ tan ^ 2t) ^ 3}. cos ^ 2t} = int cos t hspace {2mm} dt = sin t + C )

Vì (x = tan t ) nên:

(x ^ 2 = frac { sin ^ 2 t} { cos ^ 2 t} = frac { sin ^ 2 t} {1- sin ^ 2 t} )

( Rightarrow x ^ 2 (1- sin ^ 2 t) = sin ^ 2 t Rightarrow sin ^ 2 t (1 + x ^ 2) = x ^ 2 )

( Rightarrow sin t = frac {x} { sqrt {1 + x ^ 2}} )

Thay vào đó, chúng ta nhận được: ( int frac {dx} { sqrt {(1 + x ^ 2) ^ 3}} = frac {x} { sqrt {1 + x ^ 2}} + C )

Phương pháp đổi biến trong tích phân

Phương pháp chuyển đổi biến để tìm nguyên hàm

Chúng tôi áp dụng các cách thay đổi biến trong nguyên hàm để tìm nguyên hàm của hàm. Sau đó tính chia theo yêu cầu của bài toán

Ví dụ:

Tìm ( int_ {0} ^ {1} sqrt {1-x ^ 2} hspace {2mm} dx )

Giải pháp:

Đặt (x = sin t ) với (t in [-frac{pi}{2};frac{pi}{2}])

Sau đó (dx = ( sin t) ‘dt = cos t hspace {2mm} dt )

Chuyển đổi: Với (x = 0 Rightarrow t = 0 ) và (x = 1 Rightarrow t = frac { pi} {2} )

Cho nên:

( int sqrt {1-x ^ 2} hspace {2mm} dx = int sqrt {1- sin ^ 2t}. cos t hspace {2mm} dt = int cos ^ 2 t hspace {2mm} dt )

(= int frac { cos 2t +1} {2} dt = frac { sin 2t} {4} + frac {t} {2} )

Vì vậy:

( int_ {0} ^ {1} sqrt {1-x ^ 2} hspace {2mm} dx = frac { sin 2t} {4} + frac {t} {2} Big | _ {0} ^ { frac { pi} {2}} = frac { pi} {4} )

Phương pháp biến đặc biệt

Trong một số bài toán tích phân (I = int_ {a} ^ {b} f (x) dx ), chúng ta có thể đặt thêm ẩn số: (t = (a + b) -x ) sau đó sẽ có lợi hơn tính chẵn lẻ của hàm (f (x) ) để giúp tính toán dễ dàng hơn

Ví dụ:

Tích hợp (I = int _ {- 1} ^ {1} x ^ {2018} sin x hspace {2mm} dx )

Giải pháp:

Chúng ta có:

(I = int _ {- 1} ^ {1} x ^ {2018} sin x hspace {2mm} dx = int _ {- 1} ^ {0} x ^ {2018} sin x hspace { 2mm} dx + int_ {0} ^ {1} x ^ {2018} sin x hspace {2mm} dx hspace {2mm}

)

Đặt (J = int _ {- 1} ^ {0} x ^ {2018} sin x hspace {2mm} dx )

Đặt (t = -x Rightarrow dx = -dt )

Thay đổi giới hạn: (x = 0 Rightarrow t = 0 ) và (x = -1 Rightarrow t = 1 )

Vì vậy chúng tôi có:

(J = int _ {- 1} ^ {0} x ^ {2018} sin x hspace {2mm} dx = – int_ {0} ^ {1} (- t) ^ {2018}. Sin (-t). (- dt) = – int_ {0} ^ {1} t ^ {2018}. sin t hspace {2mm} dt )

Thay vì (

) chúng tôi nhận được: (I = 0 ) Xem thêm >>> Các chuyên đề Bài tập Nguyên hàm cơ bản và nâng cao

Xem thêm >>>

Tích hợp theo các bộ phận: Các dạng bài tập và cách tích hợp theo các bộ phận

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết về nguyên hàm, tích phân cũng như các phương pháp đổi biến số trong nguyên hàm và tích phân. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về phương pháp đổi biến số. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!
Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây: