Toán học

✓ Viết phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng

Viết phương trình tham số là dạng toán thường gặp trong hệ tọa độ phẳng lớp 10 cũng như hệ tọa độ không gian lớp 12. Vậy phương trình tham số là gì? Làm thế nào để viết phương trình tham số? Làm thế nào để chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này!

Phương trình tham số là gì?

  • Phương trình tham số là một phương trình thường được sử dụng để biểu diễn tọa độ của các điểm thuộc một đối tượng hình học như đường thẳng, đường tròn, v.v.
  • Phương trình tham số được xác định bởi một hệ thống các hàm của một hoặc nhiều biến độc lập.
  • Ví dụ, phương trình ( left { begin {matrix} x = sin t y = cos t end {matrix} right. ) Là biểu diễn tham số của hình tròn đơn vị. Một điểm (M (x_0; y_0) ) nằm trên vòng tròn đơn vị nếu và chỉ khi tồn tại (t_0 ) sao cho ( left { begin {matrix} x_0 = sin t_0 y_0 = cos t_0 end {matrix} right. )

lý thuyết về cách viết phương trình tham số

***Chú ý: Biểu diễn hàm bằng phương trình tham số không phải là duy nhất. Cùng một chức năng có thể được biểu diễn bằng các tham số khác nhau.

Các dạng phương trình tham số phổ biến

Trên máy bay

  • Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (M (x_0; y_0) ) và có vectơ chỉ phương ( vec {u} = (a; b) ) là:
    • ( left { begin {matrix} x = x_0 + at y = y_0 + bt end {matrix} right. ) với (t ) là tham số
  • Phương trình tham số của đường tròn có tâm (I (a; b) ) với bán kính (R ) là:
    • ( left { begin {matrix} x = R. sin t + a y = R. cos t + b end {matrix} right. ) với (t in [0;2pi])

Trong không gian

  • Phương trình tham số của mặt phẳng đi qua điểm (M (x_0; y_0; z_0) ) và chứa hai vectơ không song song ( vec {a} = (a_1; a_2; a_3) ) và ( vec {b} = (b_1; b_2; b_3) ) là:
    • ( left { begin {matrix} x = x_0 + a_1u + b_1t y = y_0 + a_2u + b_2t z = z_0 + a_3u + b_3t end {matrix} right. ) với (u , t ) là các tham số.
  • Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (M (x_0; y_0; z_0) ) và có vectơ chỉ phương ( vec {u} = (a; b; c) ) là:
    • ( left { begin {matrix} x = x_0 + at y = y_0 + bt z = z_0 + ct end {matrix} right. )
Xem Thêm:   ✓ Chuyên đề các phép biến hình: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Các dữ kiện cần thiết để viết phương trình tham số

  • Các phương trình tuyến tính
    • Tọa độ của một điểm trên một đoạn thẳng.
    • Vectơ chỉ hướng.
  • Phương trình của đường tròn
    • Tọa độ tâm.
    • Bán kính.
  • Phương trình của mặt phẳng
    • Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng.
    • Tọa độ của hai vectơ không song song trong mặt phẳng.

Cách viết phương trình tham số của mặt phẳng

Viết phương trình tham số cho đường thẳng đi qua 2 điểm

Vấn đề: Trong mặt phẳng (Oxy ) cho hai điểm (A (x_1; y_1) ) và (B (x_2; y_2) ). Viết PT tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (A; B )

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta tiến hành tìm vectơ chỉ phương ( vec {u} _ {AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) ) rồi viết phương trình tham số

Ví dụ:

Cho mặt phẳng (Oxy ), viết PT tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm (A (3; -7) ) và (B (1; -7) )

Giải pháp:

Chúng ta có vectơ ( overrightarrow {AB} = (-2; 0) )

Vậy phương trình tham số của đường thẳng (AB ) là:

( left { begin {matrix} x = 3-2t y = -7 end {matrix} right. ) với (t in mathbb {R} )

Xem chi tiết >>> Chủ đề Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Viết phương trình tham số đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng

Vấn đề: Trong mặt phẳng (Oxy ) cho điểm (M (x_0; y_0) ) và đường thẳng (d ). Viết PT tham số của đường thẳng ( Delta ) đi qua (M ) và vuông góc với (d )

Làm: Từ phương trình của đường (d ), chúng ta có thể tìm vectơ pháp tuyến ( vec {n} ) của (d ). Vì ( Delta bot d Rightarrow vec {n} ) là một vectơ hướng của đường (Delta ). Từ đó chúng ta có thể viết phương trình tham số của (Delta )

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho điểm (A (1,2) ). Viết PT dưới dạng tham số của đường thẳng ( Delta ) đi qua (A ) và vuông góc với đường (d: 2x-y + 2 = 0 )

Giải pháp:

cách viết phương trình tham số trong mặt phẳng

Vì phương trình của đường (d ) là (2x-y + 2 = 0 ) nên

( Rightarrow vec {n} (2; -1) ) là một vectơ pháp tuyến của (d )

Trong đó ( Delta bot d Rightarrow vec {n} (2; -1) ) là vectơ hướng của ( Delta )

Vì vậy, phương trình tham số của đường (Delta ) là:

( left { begin {matrix} x = 1 + 2t y = 2-t end {matrix} right. ) với (t in mathbb {R} )

Viết phương trình tham số cho một đường thẳng có phương trình tổng quát

Vấn đề: Trong mặt phẳng (Oxy ) cho đường thẳng (d: ax + by + c = 0 ). Hãy viết tham số PT của dòng (d )

  • Bước 1: Chọn bất kỳ điểm nào trên đường (d )
  • Bước 2: Xác định vectơ hướng ((-b; a) ) của (d ) dựa trên vectơ pháp tuyến ((a; b) ) của (d )
  • Bước 3: Viết PT tham số của (d )

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho đường thẳng (d: 2x-3y-12 = 0 ). Hãy viết tham số PT của dòng (d )

Giải pháp:

Từ phương trình tổng quát của (d ), chúng ta thấy rằng ( vec {n} = (2; -3) ) là một vectơ pháp tuyến của (d )

Do đó ( Rightarrow vec {u} = (3; 2) ) là một vectơ chỉ hướng của (d )

Thật dễ dàng để thấy điểm (A (3; -2) trong d ). Vì vậy, chúng ta có phương trình tham số của đường (d ) là:

( left { begin {matrix} x = 3 + 3t y = -2 + 2t end {matrix} right. ) với (t in mathbb {R} )

Viết phương trình tham số cho đường tròn

Để viết phương trình tham số của đường tròn, ta cần tìm tọa độ tâm của đường tròn và bán kính của đường tròn đó

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho điểm (I (1; 2) ) và đường thẳng ( Delta: 3x-4y + 1 = 0 ). Viết phương trình cho đường tròn ((O) ) với tâm (I ) và tiếp tuyến với đường ( Delta )

Giải pháp:

viết phương trình tham số của đường tròn

Vì vòng tròn ((O) ) chạm vào ( Delta ) nên

( Rightarrow R = d (I; Delta) = frac {| 3-8 + 1 |} { sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2}} = frac {4} {5} )

Vì vậy, chúng ta có phương trình tham số của đường tròn ((O) ) là:

( left { begin {matrix} x = frac {4} {5}. sin t +1 y = frac {4} {5}. cos t +2 end {matrix} right. ) với (t in [0;2pi])

Cách viết phương trình tham số trong không gian

Viết phương trình tham số của mặt phẳng

Để viết phương trình tham số của mặt phẳng, ta cần tìm tọa độ của một điểm bất kỳ nằm trên mặt phẳng và vectơ chỉ phương của hai đường thẳng không song song nằm trên mặt phẳng đó. Sau đó dựa vào công thức trên để viết PT tham số:

Ví dụ:

Trong không gian (Oxyz ) cho ba điểm (A (1; 2; 2); B (3; 3; -1); C (2; 1; -2) ). Viết PT tham số của mặt phẳng ((ABC) )

Giải pháp:

Chúng ta có:

( left { begin {matrix} overrightarrow {AB} = (2; 1; -3) overrightarrow {AC} = (1; -1; -4) end {matrix} right. )

Vậy phương trình tham số của mặt phẳng ((ABC) ) là:

( left { begin {matrix} x = 1 + 2u + t y = 2 + ut z = 2-3u-4t end {matrix} right. ) với (u, t in mathbb {R} )

Viết phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian, cách viết phương trình tham số của đường thẳng giống như trong mặt phẳng. Ta cần tìm tọa độ của một điểm nằm trên đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Ví dụ:

Trong không gian (Oxyz ) cho hai mặt phẳng ((P): x + 2y + 3z + 2 = 0 ) và (2x-yz-1 = 0 ). Viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng

Giải pháp:

Tập hợp các giao tuyến của hai mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình:

( left { begin {matrix} x + 2y + 3z + 2 = 0 2x-yz-1 = 0 end {matrix} right. )

Cho trước (z = 0 ) thì chúng ta nhận được một giao điểm (A (0; -1; 0) )

Cho trước (y = 0 ) thì chúng ta nhận được một giao điểm (B ( frac {1} {7}; 0; – frac {5} {7}) )

Vì vậy, ( Rightarrow overrightarrow {AB} = ( frac {1} {7}; 1; – frac {5} {7}) )

( Rightarrow overrightarrow {u} = (1; 7; -5) ) là vectơ chỉ hướng của (AB )

Vậy phương trình của đường thẳng cắt hai mặt phẳng là:

(AB: left { begin {matrix} x = t y = -1 + 7t z = -5t end {matrix} right. )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và một số ví dụ về bài toán phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng. Hy vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề viết phương trình tham số. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem Thêm:   ✓ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Xem thêm >>> Vectơ chỉ phương của đoạn thẳng là gì? Phương trình tham số của đường thẳng


▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.

▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.

▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.

▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.

Theo gõi chúng tôi để biết thêm thông tin chi tiết tại:

Trang chủ: Thcs giao thiện

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button